"خلال هذه امقرر سيستكشف الطلاب البُنى الجبرية للمجموعات، الحلقات، الحقول، والفضاءات المتجهية، ويطورون المهارات اللازمة لتطبيق تقنيات الجبر التجريدي في حل المشكلات الرياضية والعملية. نظرية المجموعات: المجموعات الفرعية، المجموعات الجزئية، مبرهنة لاجرانج، التحويلات المتماثلة، المجموعات الفرعية العادية والمجموعات الناتجة، مجموعات التباديل، المجموعات البسيطة. الحلقات والحقول: حلقات المصفوفات، الكواتيرنيونات، المثالية والتحويلات المتماثلة، الحلقات الناتجة، حلقات متعددة الحدود، حلقات المثالية الرئيسية، الحلقات الإقليدية والتحليل الفريد. الحقول والفضاءات المتجهية: الفضاءات المتجهية ذات البُعد المنتهي، التوسعات الحقلية الجبرية، الحقول المنتهية."

"الموضوعات التي يتم تناولها في هذه الدورة تشمل وجود وتفرد مشاكل القيم الأولية، أنظمة المعادلات التفاضلية الخطية ذات المعاملات الثابتة، الأسس المصفوفية، طريقة تحويل لابلاس لحل المعادلات التفاضلية العادية، تحليل الاستقرار للأنظمة الخطية وغير الخطية من المعادلات التفاضلية العادية، وتحليل مستوى الطور."

"الأهداف الرئيسية هي: فهم خصائص وأهمية الفضاءات العاكسة في التحليل الدالي. استكشاف التقارب الضعيف والطوبولوجيا الضعيفة: التحقيق في التقارب الضعيف وعلاقته بالطوبولوجيا الضعيفة في التحليل الدالي. فهم النظريات الهامة مثل مبرهنة مازور، مبرهنة باناش-ألاوغلو في حالات مختلفة، مبرهنة تيشونوف، والمبرهنة العامة لباناش-ألاوغلو. التعمق في المشغلين الخطّيين المدمجين، خصائصهم، بالإضافة إلى مشغلات فريدولم ومشغلات هيلبرت-شميت. فهم مفهومي الطيف والمحلول في سياق المشغلين ومبرهنة التطابق الطيفي. دراسة نظرية الطيف لأنواع مختلفة من المشغلين مثل المشغلين الذاتيين، المشغلين المدمجين، المشغلين المحدودين، والمشغلين الذاتيين. بما في ذلك العائلة الطيفية لمشغل ذاتي محدود. استكشاف التمثيل الطيفي للمشغلين الذاتيين المحدودين. التعمق في جبر باناش، ونظرية الطيف داخل جبر باناش، والجبر التبادلي في سياق التحليل الدالي."

"هذه المقرر هو استمرار لدورة التحليل العددي، حيث سيدرس الطلاب في مرحلة الدراسات العليا الخوارزميات المتقدمة للحصول على نتائج عددية تقريبية للمشاكل الرياضية كما هو موضح أدناه: الطرق العددية لحل الأنظمة غير الخطية: طريقة النقطة الثابتة، طريقة نيوتن. الطرق العددية لحل مشاكل القيم الأولية (طرق خطوة واحدة وطرق متعددة الخطوات مع دراسة الأخطاء، الاستقرار، والتقارب للخوارزميات). الطرق العددية لحل مشاكل القيم الحدية: طريقة التصويب، طريقة الفروق المحدودة مع دراسة الأخطاء، الاستقرار، والتقارب للخوارزميات. برمجة الخوارزميات المدروسة باستخدام MATLAB و Python."

"ضمن برنامج الماجستير في الرياضيات، تتناول هذه الدورة الأبعاد الأخلاقية وممارسات التحرير الأساسية في البحث العلمي ضمن مجال الرياضيات. يهدف البرنامج إلى تزويد الطلاب بفهم عميق للتحديات الأخلاقية المتعلقة بالبحث الرياضي، معايير التحرير الأخلاقي، ودمج الاعتبارات الأخلاقية في التحقيقات الرياضية."

الدوال الحسابية، الجمع الجزئي، سلاسل ديريشليت ومنتجات أويلر. دالة زيتا لريمان، معادلتها الوظيفية واستمرارها التحليلي. تقييمها عند الأعداد الصحيحة الزوجية. أصفار دالة زيتا وفرضية ريمان. نظرية الأعداد الأولية. شخصيات ديريشليت ومجاميع غاوس. دوال L لديريشليت، استمرارها التحليلي ومعادلاتها الوظيفية.

"يغطي المقرر المواضيع التالية: المؤثرات الخطية غير المحدودة. المؤثرات الخطية المغلقة والقابلة للإغلاق. اضطرابات المؤثرات المغلقة. المؤثرات غير المحدودة القابلة للعكس. نظرية الطيف للمؤثرات الخطية غير المحدودة. المؤثرات الخطية المتماثلة والذاتية الترافق. تعريف وخصائص أساسية للمؤثرات الأحادية القصوى. فضاءات سوبوليف: المشتقات الضعيفة، فضاءات سوبوليف، خصائص المشتقات الضعيفة، اكتمال فضاءات سوبوليف، هيكل فضاءات هيلبرت-سوبوليف. التقريب بالدوال الملساء، التقريب المحلي في فضاءات سوبوليف، التقريب العام في فضاءات سوبوليف. فضاءات سوبوليف ذات القيم الحدية الصفرية. متباينات سوبوليف. فضاءات سوبوليف والصياغة التغايرية لمسائل القيم الحدية في بعد واحد."

"مقدمة إلى المصفوفات: مجموعات المصفوفات، مجموعات المصفوفات كمساحات مترية، مجموعات المصفوفات، أمثلة على مجموعات المصفوفات، المجموعات المصفوفية المعقدة كمجموعات مصفوفية حقيقية، التشاكلات المستمرة لمجموعات المصفوفات، العمليات المستمرة على المجموعات، الدوال الأسية واللوغاريتمية للمصفوفات. الجبر الجذبي لمجموعات المصفوفات: المعادلات التفاضلية في المصفوفات، المجموعات الفرعية ذات المعلمة الواحدة، المنحنيات، الفضاءات المماسية والجبر الجذبي، بعض الجبر الجذبي لمجموعات المصفوفات، المجموعات SO(3) و SU(2)، SL₂(C) ومجموعة لورنتز. الكواتيرنيون، جبور كليفورد وبعض المجموعات المرتبطة: الجبر، الجبر الخطي على جبر القسمة، الكواتيرنيون، مجموعات المصفوفات الكواتيرنيونية، جبور كليفورد الحقيقية، مجموعات الدوران، مراكز مجموعات الدوران، المجموعات الفرعية المحدودة لمجموعات الدوران. مجموعات المصفوفات كمجموعات لي: المنوعات الناعمة، الفضاءات المماسية والمشتقات، مجموعات لي، بعض الأمثلة على مجموعات لي، بعض الصيغ المفيدة في مجموعات المصفوفات، مجموعات المصفوفات كمجموعات لي، ليست كل مجموعات لي مجموعات مصفوفات"

"مقدمة إلى طرق التحليل التوافقي. تتضمن دراسة تقارب سلسلة فورييه، تحويل هيلبرت، نظرية كالديرون-زيغموند، نظرية ليتلوود-بالي، التقييد الفورييري، وتطبيقاتها."

"الدوال القابلة للتفاضل، نظريتا الدالة العكسية والضمنية. نظرية المنوعات: المنوعات القابلة للتفاضل، الخرائط، الحزم المماسية، العرضية، نظرية سارد، الحقول المتجهية والتنسورية والنماذج التفاضلية: نظرية فروبينياس، التكامل على المنوعات، نظرية ستوكس في أبعاد 𝑛 n، نظرية التشارك الجوهري لـ دي رام. مجموعات لي."

"نظرية الاستقرار للمعادلات التفاضلية وتقنيات ليابونوف، مبدأ الثبات للاسل، منطقة الجذب، التحويل الخطي، التحكم المرتجع، القابلية للتحكم والمراقبة للأنظمة الخطية وغير الخطية."

"تشمل المواضيع معادلة لابلاس، الدوال التوافقية، التكامل بواسون، مبدأ الحد الأقصى، مشكلة نيومان، المشكلة التقليدية لديريشليت، متباينة هارناك، الدوال فوق التوافقية وخصائصها، طريقة بيرون-ويينر، مبرهنة الحد على الحدود، القياس التوافقي، دوال غرين، المجموعات المهملة، السعة والطاقة."

"الحلقة، الحلقة الفرعية، المثالي، العمليات على المثاليّات، العناصر القسمة صفر، العناصر النيلبوتينية، العناصر القابلة للعكس، المجال المتكامل، الحقل، المثالي الأولي، المثالي الأقصى، الهومومورفيسم للحلقات، حلقة النسبة (مع الأقسام والعلاقات المكافئة)، مبرهنة التماثل، مبرهنة باقي الصين، المجموعات المرتبة جزئياً، مبرهنة زورن ووجود المثاليّات القصوى، الجذر النيلبوتيني، المثالي جاكوبسون، محلية الحلقات، حلقة الحدود المتعددة، حلقة السلاسل القوية. مقدمة إلى الحلقات النثرية: الموديل، الموديل الفرعي، العمليات على الموديلات الفرعية، الهومومورفيسم للموديلات، الموديل المولد منتهياً، الموديلات النثرية، الحلقات النثرية، مبرهنة أساس هيلبرت، معيار كوهين، التحليل الأولي. مقدمة إلى UFD (مجال التحليل الفريد): المجال الإقليدي، PID (مجال المثالي الرئيسي)، العناصر المرتبطة، العنصر غير القابل للتحليل، العنصر الأولي، الروابط بين الأولي وغير القابل للتحليل، مجال التحليل الفريد، التسلسل الهرمي بين UFD و PID والمجالات الإقليدية. حلقة الحدود المتعددة فوق UFD، معيار آيزنشتاين. مقدمة إلى الاعتماد التكامل والتقييمات"

تشمل المواضيع معادلة لابلاس، الدوال التوافقية، تكامل بواسون، مبدأ الحد الأقصى، مشكلة نيومان، المشكلة التقليدية لديريشليت، متباينة هارناك، الدوال فوق التوافقية وخصائصها، طريقة بيرون-ويينر، مبرهنة الحد على الحدود، القياس التوافقي، دوال غرين، المجموعات المهملة، السعة والطاقة.

مقدمة إلى طرق الفروق المحدودة، حصص الفروق المحدودة الأساسية، الجوانب الأساسية للمعادلات ذات الفروق المحدودة، الاستقرار، التناسق، التقارب، الطرق الصريحة والضمنية، مخطط كرانك-نيكولسون الضمني، الخصائص الأساسية للدوال الهولومورفية في بعد واحد: مبدأ الحد الأقصى للمودول، مبرهنة ليوفيل، الأصفار، العائلة العادية. الدوال الهولومورفية في عدة متغيرات (مجال الهولومورفية، مبرهنة رسم ريمان، نظرية التمدد لهارتوجس) بما في ذلك الفرق بين نظرية المتغير الواحد والمتغيرات المتعددة. الدوال البلوريّة السالبة والتحليل المحتمل في عدة متغيرات معقدة.

"رسالة الماجستير في الرياضيات مصممة لإشراك الطلاب في البحث العلمي المتقدم ضمن مجالات محددة من الرياضيات. يهدف هذا البرنامج إلى تنمية رياضيين مهرة قادرين على إجراء أبحاث دقيقة والمساهمة في تقدم المجال. يركز الطلاب على موضوع بحث متخصص يتم اعتماده من قبل مجلس قسم الرياضيات. وتحت إشراف مشرف مختار، يتعمق الطلاب في الجوانب النظرية والعملية لمجالهم المختار، مما يساعدهم على تطوير مهارات البحث وتعزيز المهارات المعرفية العليا والتعلم الذاتي. خلال عملية إعداد الرسالة، سيؤكد الطلاب على الأخلاقيات والمهنية والالتزام بالمعايير الأكاديمية. وبنهاية البرنامج، يُتوقع من الطلاب إعداد مشروع رسالة شامل وتقديم عرض شفهي يوضح نتائج أبحاثهم. يتيح البرنامج مرونة للطلاب لاختيار مشرف وموضوع المشروع من قائمة مقترحات، مما يضمن تجربة بحثية مخصصة وغنية. ومن خلال هذا البرنامج، يطور الطلاب مهارات التفكير النقدي والتواصل والتحليل الضرورية للنجاح في البحث الرياضي المتقدم والمسارات المهنية."